n! и число комбинаций. Выше 170! результат выходит за пределы числа.
Факториал n! — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Например, 5! равен 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. Он показывает, сколькими способами можно расставить n различных предметов в ряд, поэтому факториал — базовый инструмент комбинаторики.
Пустое множество можно упорядочить ровно одним способом — ничего не делая, — поэтому число расстановок равно 1, а не 0. Того же требует рекуррентное соотношение n! = n × (n − 1)!, которое при n = 1 даёт 1! = 1 × 0!, поэтому 0! не может быть ничем иным, кроме 1. Это не соглашение, а единственное согласованное значение.
Быстрее любой степенной функции. 10! — это уже 3 628 800, 20! примерно 2,4 × 10¹⁸, а 70! превышает то, что можно представить в обычном числовом типе данных. Именно поэтому комбинаторные задачи с несколькими десятками элементов быстро становятся невычислимыми прямым перебором.
В расчётах комбинаций и перестановок: сколькими способами можно набрать команду, сколько возможно различных паролей, сколько маршрутов в задаче коммивояжёра. Факториал появляется также в теории вероятностей и в рядах, которыми вычисляют экспоненту и синус.