Площадь и периметр треугольника по трём сторонам (формула Герона).
Если известны основание и высота, площадь равна S = ½ × основание × высота. Высота должна быть перпендикулярна выбранному основанию, а не любой стороне — это самая частая ошибка. При основании 8 см и высоте 5 см площадь равна 0,5 × 8 × 5 = 20 см².
Она позволяет найти площадь, зная только три стороны, без высоты. Сначала находят полупериметр p = (a + b + c) / 2, затем S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). Это удобно при измерениях на местности, где стороны измерить легко, а высоту — практически невозможно.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a² + b² = c². При катетах 3 и 4 гипотенуза равна √(9 + 16) = 5. Теорема работает только в прямоугольном треугольнике и применяется также в обратную сторону — чтобы проверить, действительно ли угол в постройке прямой.
Только если сумма любых двух сторон больше третьей. Стороны 2, 3 и 10 треугольника не образуют, поскольку 2 + 3 меньше 10 — две короткие просто не сойдутся. Это условие называют неравенством треугольника, и его стоит проверить первым, если расчёт даёт странный результат.