Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
Наибольший общий делитель — это наибольшее число, на которое оба данных числа делятся без остатка. Например, 18 и 24 делятся на 1, 2, 3 и 6, поэтому их НОД равен 6. Его используют при сокращении дробей: разделив числитель и знаменатель на НОД, дробь сразу приходит к несократимому виду.
Наименьшее общее кратное — это наименьшее число, которое делится на оба данных числа. Для 4 и 6 это 12. На практике его используют при сложении дробей с разными знаменателями: НОК даёт наименьший общий знаменатель и, значит, наименьшие числа в расчёте.
Для двух чисел их произведение всегда равно произведению НОД и НОК: a × b = НОД(a, b) × НОК(a, b). Для 18 и 24 это 432 = 6 × 72. Поэтому, зная одно, второе можно получить делением. Это соотношение верно только для двух чисел, но не для трёх и более.
Большее число делят на меньшее и оставляют остаток, затем повторяют с меньшим числом и остатком, пока остаток не станет нулём. Последний ненулевой остаток и есть НОД. Для 48 и 18: 48 = 2 × 18 + 12, затем 18 = 1 × 12 + 6, затем 12 = 2 × 6 + 0, поэтому НОД равен 6. Способ намного быстрее перебора делителей.